A. BILANGAN BERPANGKAT

Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Supaya lebih jelas, cobalah perhatikan contoh dalam tabel berikut ini.

Bilangan berpangkat bulat positif memiliki beberapa sifat juga, nih, Quipperian. Misalnya a dan b merupakan bilangan bulat serta m dan n merupakan bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat berikut:

Sifat pertama ini memudahkanmu dalam melakukan operasi perkalian pada bilangan berpangkat dengan basis yang sama namun eksponen yang berbeda. Kamu hanya perlu menambahkan eksponennya, selesai deh!

Kalau sifat pertama tadi berkaitan dengan operasi perkalian, sifat kedua ini berkaitan dengan operasi pembagian. Jadi, kalau kamu harus melakukan pembagian pada bilangan berpangkat dengan basis yang sama namun eksponen yang berbeda, kamu dapat langsung mengurangi eksponennya saja.

Sifat ketiga ini berkaitan dengan operasi perkalian terhadap kelompok bilangan. Supaya nggak sulit, kamu ternyata bisa, lho, memecah kelompok bilangan yang berada di dalam tanda kurung dan menjadikan masing-masing bilangan sebagai basis dengan eksponen yang sama.

Sudah bilangan berpangkat, masih dipangkatkan lagi? Eits, nggak perlu bingung, sifat keempat ini bisa mempermudah hidupmu. Kamu tinggal mengalikan kedua eksponen saja, beres deh.

Perpangkatan terhadap pecahan bukan lagi hal yang sulit, deh! Berdasarkan sifat kelima ini, kamu bisa mempermudah operasi pemangkatan terhadap pecahan dengan memberikan eksponen yang sama pada pembilang dan juga penyebut dalam pecahan yang dipangkatkan tersebut.

Pangkat atau eksponen juga dapat berupa angka nol, lho. Wah, dikalikan berapa kali, tuh? Nol kali? Psst, daripada pusing, yuk kita lihat penjabarannya berikut ini:

Dengan begitu, kita mengetahui bahwa bilangan berapapun, bila memiliki pangkat nol, hasilnya adalah satu. Mudah, kan?

Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

Tadi, kita telah berkenalan dengan bilangan berpangkat bulat positif beserta sifat-sifatnya dan juga bilangan berpangkat nol. Diketahui bahwa  dan . Dengannya, kita bisa lho, mengetahui definisi dari bilangan berpangkat bulat negatif. Ini dia penjabarannya:

B. PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A.      Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax² + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0

Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0

x² – 6 x + 9 – 4 = 0

x² – 6 x + 9 = 4

(x – 3)² = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

1.  Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.

Jawab:   x² + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b² – 4ac disebut diskriminan (D).

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

1. x² + 5 x + 2 = 0

Jawab :

1. x² + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2

D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

3.      Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat   ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂.

ax² + bx + c = 0

x² +x + = 0

Karena  x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :

Jadi,  ,   .

Contoh:

Akar-akar x² – 3x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

1. x₁ + x₂ d.
2. x₁.x₂ e.   x₁³ + x₂³
3. x₁² + x₂²

Jawab:          x² – 3 x + 4 = 0  ®  a = 1  ,  b = –3  , c = 4

a.   x₁ + x₂ = 3

b.   x₁.x₂ = 4

c.   x₁² + x₂² = x₁² + x₂² +  2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂

= (x₁ + x₂)² – 2 x₁ x₂ = 2 (-3)² – 2 . 4 = 1

e. (x₁ + x₂)³ = x₁³ + 3 x₁² x₂ + 3 x₁ x₂² + x₂³

= x₁³ + 3 x₁ x₂ (x₁ +  x₂) + x₂³

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂)

= 3³ – 3 . 4 (3)

= 27 – 36 = –9

4.     Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:

v  menggunakan perkalian faktor,

v  menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat   x² + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai

(x – x₁) (x – x₂) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x₁ dan x₂. Dengan demikian jika akar-akar

persamaan kuadrat x₁ dan x₂ maka persamaannya adalah (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

Jawab:   (x – x₁) (x – x₂) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x² – 3 x + 2 x – 6 = 0

x² – x – 6 = 0.

b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .

Dengan menggunakan x₁ + x₂ = – dan x₁ x₂ = , maka akan diperoleh persamaan:

x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.

Jawab:   x₁ + x₂ = -2 – 3 = – 5

x₁ x₂ = 6

Jadi, persamaan kuadratnya x² – (–5)x + 6 = 0   atau   x² + 5x + 6 = 0.

c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂.  ®  x₁ + x₂ =  2  ,  x₁ x₂ = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x₁ + 3 dan  q =  x₂ +3

p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)                                 p q = (x₁ + 3) (x₂ + 3)

= x₁ + x₂ + 6                                                  = x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9

= 2 + 6 = 8                                                    = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x² – 8x + 18 = 0.

B.    Fungsi Kuadrat

1. Pengertian

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.

Contoh 1:        

Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x² – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1)       f(x) = x² – 2x – 3

= x² – 2x + 1 – 4

=(x – 1)² – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2)       f(x) = –x² + 4x + 5

= –x² + 4x – 4 + 9

= –(x² – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)² + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

3. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat  f : x ® y = a x² + b x + c grafiknya berbentuk parabola.

• Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
• Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
• Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
• Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.

Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:

1)       Titik potong grafik dengan sumbu-X.

Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka

a x² + b x + c = 0. Karena a x² + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).

D > 0 ®  terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x₁ , 0)  dan  (x₂ , 0).

D = 0 ®   terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.

D < 0 ®  tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.

2)       Titik potong dengan sumbu-Y.

Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).

3)       Sumbu simetri

Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:

4)       Titik Puncak/ Balik

Koordinat titik puncak

Catatan:

• Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x² + b x + c berbentuk parabola.
• Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
• Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.

Contoh:

Buatlah sketsa grafik y = x² – 2x – 3  untuk x e R.

Jawab:

Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.

x² – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3   dan  x = –1

Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)

Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0

y = 0 – 0 – 3 = – 3

Koordinat titik potongnya C(0 , –3)

Sumbu simetri, garis

Titik puncak  ® D(1 , –4)

Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik  fungsi

y = x³ – 2x – 3.

4.     Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah  y = a x² + b x + c

Grafik melalui titik (–1 , 0)  ®  0 = a(–1)² + b (–1) + c

0 = a – b + c ………………. (1)

Grafik melalui titik (1 , 8)  ®    8 =a (1)² + b (1) + c

8 = a + b + c ………………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 )  ®  6 = a (2)² + b (2) + c

6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.

(1)   a – b + c = 0(2)    a +   b + c = 8                               a – b + c = 0

(2)   a + b + c = 8                                 (3)   4a + 2b + c = 6                            –2 – 4 + c = 0

–2b = –8                                       3a –   b = 2                                            c = 6

b = 4                                               – 3a – 4 = 2

a = –2

Jadi, fungsi kuadrat itu adalah   y = –2x² + 4x + 6.

b.      Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).

(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x² + b x + c sehingga  0= ap² + bp + c dan

0= aq² + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:

0 = a(p² – q²) + b(p – q)

b(p – q) = –a(p² – q²)

= –a(p + q) (p – q)

b = – a(p + q)

Substitusikan b = – a(p + q)   ke   ap² + bp + c = 0

ap² + (– a(p + q)) p + c = 0

ap² – ap² – pqa + c = 0

c = pqa

Untuk  b = – a(p + q)  dan  c = pqa maka

y = a x² + b x + c Û  y = ax² – a(p + q)x + pqa

= a(x² – (p + q)x + pq)

= a(x – p) (x – q)

Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1)

= a(x + 5) (x – 1)

Grafik melalui titik (–3, –8), berarti

–8 = a(–3+5) (–3  – 1)

=  –8a

a = 1

Substitusikan a = 1 pada  y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh   y = x² + 4x – 5.

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x² + 4x – 5.

c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c adalah .

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat  y = ax² + bx + c dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah  y = a (x – p)² + q

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah  y = (x – 1)² + 3

Grafik melalui titik (0,0) berarti:

0 = a(0 – 1) + 3

0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada   y = a (x – 1)² + 3 maka diperoleh

y = –3 (x – 1)² + 3

y = –3 (x² – 2x + 1) + 3

y = –3x² + 6x

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x² + 6x.

d.   Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b² – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).

Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah  .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)²

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)²

Grafik melalui titik (0,4) berarti :

4 = a(0 – 2)² = 4a

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)² atau  y = x² – 4x + 4.

Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat

Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yaitu D = b² –4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :

1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
2. tanda-tanda fungsi kuadrat
3. garis dan parabola

b. Tanda-tanda fungsi kuadrat

Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .

1. Berdasarkan tanda a

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).

a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).

1. Berdasarkan tanda D = b² – 4 a c

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-Xdi dua titik yang berlainan.

D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-Xdi dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.

D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-Xdan juga tidak menyinggung sumbu-X.

Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:

Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:

Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x² + b x + c = 0 ,  a ¹ 0.

Untuk a > 0:

1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) > 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) < 0  untuk  x₁< x < x₂

2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x)= 0

3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.

Untuk  a < 0:

1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) < 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) > 0  untuk  x₁< x < x₂

2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x)= 0

3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.

Contoh 1:

Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x² – 4 x – m + 2  definit positif.

Jawab:

f(x) = x² – 4 x – m + 2

Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah  a > 0  dan  D < 0.

a = 1 bilangan positif

D = (–4)² – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8

= 4 m + 8

D < 0  «  4 m + 8 < 0

m < –2

Jadi, agar f(x) = x² – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2